1.傅里叶级数定义：
傅里叶级数应该和泰勒级一样，是为了简化复杂函数的分析过程而提出的一种数学方法。如果要说明傅里叶级数的系数到底怎么求解，那就先从傅里叶级数的定义开始吧，傅里叶级数最早提出是想用三角函数的线性组合去表达一个复杂函数，既然是线性组合，根据线性代数的理论来说，我们最好用彼此线性无关的量去线性表示另一个量，这种情况下会比较方便，而三角函数系的正交性正好满足彼此无关这一个条件。那么三角函数的正交到底是什么意思呢?
*三角函数系的正交
相的正交在线性代数的理论中有非常完整简洁的定义，两个相量点积之后结果为0即说明两相量正交，比如相量a(a1，a2，a3)与相量b(b1，b2，b3)正交，则a1b1+a2b2+a3b3=0，可以看出相量的点积其实是对应分量相乘再累加的过程，而这种关系与连续函数的正交定义是有密切联系的，三角函数系的正交定义，比如cosx，与sin正交，则写成
而其实积分的过程可以看做cosx和sinx分别在某个点的取值后相乘再对应累加(积分)，说具体些，假设我这里积分周期选择0-T，定义一个无穷小的数ξ，则积分可以近似看做
可以看出来这种关系与相量正交的形式是相同的，所以可以认为两个函数相乘积分结果为0则两函数正交。而可以证明三角函数系的正交关，无论是
sinnx还是cosnx都与除了它本身外的任意三角函数正交。
那么现在回到傅里叶级数，既然三角函数系彼此正交，把三角函数系看成一个相量空间就变得可行了，所以f(x)(周期为2π)可以做如下拆分(注：此公式仅在满足狄利克雷条件下存在)
这就是傅里叶级数的合成形式，它的物理意义也是非常明显的，一个周期函数可以拆分成周期为自身整数倍的三角函数的线性组合。
2.系数求解
那么说了这么多终于可以回到问题上来了，那么对于上述级数，我们该怎么样求解各个系数呢，这个问题在我学傅里叶级数的时候也一直不能理解，直到最近详细研究了泰勒级数才发现二者的异曲同工，求解系数的方法就是消项，比如对于a0的求解，我们只需要把除了a0以外等式所有的项全部消掉不就可以了吗，那么怎么消呢，很容易，a0是唯一一个不包含三角函数的系数，而其他项的三角函数的周期均为2π(注意：我说的是周期，而不是最小周期，其实cosx的周期是2π，cos2x周期为π，……cosn的周期为2π/n，不过大家周期的最小公倍都是2π，所以2π是所有这些三角函数的周期)，所以我们只需要对等式两端同时进行-π到π的一个积分，就会只留下a0，处理过程是这样
这里我要说明一点，很多高数书(例如同济)上的结果与我这里有一处不同，是因为数学数上定义的常数分量是ao/2，而我这里是ao。
那么ao求出来了，an和bn呢?那么这里就要应用到三角函数系的正交法则，举个例子，比如我们要求解an的值，就意味我们必须把除了an以外所有项都消掉，而an和cosnx相乘，所以我们让整个式子乘上cosnx再积分
傅里叶级数的和函数是分段函数，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
法国数学家J·-B·-J·傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯·博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
